బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్: మొదటి ఆర్డర్ మరియు రెండవ ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్

ఎలక్ట్రిక్ ఫిల్టర్లు చాలా అనువర్తనాలను కలిగి ఉన్నాయి మరియు అనేక సిగ్నల్ ప్రాసెసింగ్ సర్క్యూట్లలో విస్తృతంగా ఉపయోగించబడుతున్నాయి. ఇచ్చిన ఇన్పుట్ యొక్క పూర్తి స్పెక్ట్రంలో ఎంచుకున్న ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సిగ్నల్స్ ఎంచుకోవడానికి లేదా తొలగించడానికి ఇది ఉపయోగించబడుతుంది. కాబట్టి ఫిల్టర్ ఎంచుకున్న ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సిగ్నల్స్ దాని గుండా వెళ్ళడానికి లేదా దాని గుండా వెళుతున్న ఎంచుకున్న ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సంకేతాలను తొలగించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది.

ప్రస్తుతం, అనేక రకాల ఫిల్టర్లు అందుబాటులో ఉన్నాయి మరియు అవి అనేక విధాలుగా వేరు చేయబడ్డాయి. మునుపటి ట్యుటోరియల్లో మేము చాలా ఫిల్టర్లను కవర్ చేసాము, కాని చాలా ప్రజాదరణ పొందిన భేదం దీనిపై ఆధారపడి ఉంటుంది,

అనలాగ్ లేదా డిజిటల్
క్రియాశీల లేదా నిష్క్రియాత్మక
ఆడియో లేదా రేడియో-ఫ్రీక్వెన్సీ
ఫ్రీక్వెన్సీ ఎంపిక

అనలాగ్ లేదా డిజిటల్ ఫిల్టర్లు

పర్యావరణం ద్వారా ఉత్పన్నమయ్యే సిగ్నల్స్ ప్రకృతిలో అనలాగ్ అని మనకు తెలుసు, డిజిటల్ సర్క్యూట్లలో ప్రాసెస్ చేయబడిన సిగ్నల్స్ డిజిటల్ ప్రకృతిలో ఉంటాయి. కావలసిన ఫలితాన్ని పొందడానికి మేము అనలాగ్ మరియు డిజిటల్ సిగ్నల్స్ కోసం సంబంధిత ఫిల్టర్లను ఉపయోగించాలి. కాబట్టి మేము అనలాగ్ సిగ్నల్స్ ప్రాసెస్ చేసేటప్పుడు అనలాగ్ ఫిల్టర్లను ఉపయోగించాలి మరియు డిజిటల్ సిగ్నల్స్ ప్రాసెస్ చేసేటప్పుడు డిజిటల్ ఫిల్టర్లను ఉపయోగించాలి.

క్రియాశీల లేదా నిష్క్రియాత్మక ఫిల్టర్లు

ఫిల్టర్లను రూపకల్పన చేసేటప్పుడు ఉపయోగించే భాగాల ఆధారంగా ఫిల్టర్లను కూడా విభజించారు. వడపోత రూపకల్పన పూర్తిగా నిష్క్రియాత్మక భాగాలపై (రెసిస్టర్, కెపాసిటర్ & ఇండక్టర్ వంటివి) ఆధారపడి ఉంటే, అప్పుడు ఫిల్టర్‌ను నిష్క్రియాత్మక వడపోత అంటారు. మరోవైపు, మేము ఒక సర్క్యూట్ రూపకల్పన చేసేటప్పుడు క్రియాశీలక భాగాన్ని (op-amp, వోల్టేజ్ సోర్స్, ప్రస్తుత మూలం) ఉపయోగిస్తే ఫిల్టర్‌ను యాక్టివ్ ఫిల్టర్ అంటారు.

క్రియాశీల వడపోత నిష్క్రియాత్మకమైన వాటి కంటే ఎక్కువ ప్రయోజనాలను కలిగి ఉన్నందున మరింత ప్రాచుర్యం పొందింది. ఈ ప్రయోజనాలు కొన్ని క్రింద పేర్కొనబడ్డాయి:

లోడింగ్ సమస్య లేదు: క్రియాశీల సర్క్యూట్లో మేము చాలా ఎక్కువ ఇన్పుట్ ఇంపెడెన్స్ మరియు తక్కువ అవుట్పుట్ ఇంపెడెన్స్ కలిగి ఉన్న ఆప్-ఆంప్ని ఉపయోగిస్తాము. ఒకవేళ మేము క్రియాశీల ఫిల్టర్‌ను సర్క్యూట్‌కు కనెక్ట్ చేసినప్పుడు, ఆప్-ఆంప్ చేత డ్రా చేయబడిన కరెంట్ చాలా తక్కువ ఇన్పుట్ ఇంపెడెన్స్ కలిగి ఉంటుంది మరియు తద్వారా ఫిల్టర్ కనెక్ట్ అయినప్పుడు సర్క్యూట్ ఎటువంటి భారాన్ని అనుభవించదు.
సర్దుబాటు వశ్యతను పొందండి: నిష్క్రియాత్మక ఫిల్టర్లలో, లాభం లేదా సిగ్నల్ విస్తరణ సాధ్యం కాదు, ఎందుకంటే అలాంటి పనిని నిర్వహించడానికి నిర్దిష్ట భాగాలు ఉండవు. మరోవైపు, క్రియాశీల ఫిల్టర్‌లో, మనకు ఆప్-ఆంప్ ఉంది, ఇది ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్‌లకు అధిక లాభం లేదా సిగ్నల్ యాంప్లిఫికేషన్‌ను అందిస్తుంది.
ఫ్రీక్వెన్సీ సర్దుబాటు వశ్యత: నిష్క్రియాత్మక ఫిల్టర్‌లతో పోల్చినప్పుడు కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీని సర్దుబాటు చేసేటప్పుడు యాక్టివ్ ఫిల్టర్లు అధిక సౌలభ్యాన్ని కలిగి ఉంటాయి.

ఆడియో లేదా రేడియో ఫ్రీక్వెన్సీ ఆధారంగా ఫిల్టర్లు

వడపోత యొక్క అనువర్తనాన్ని బట్టి లేదా సెటప్ ఎక్కడ ఉపయోగించబడుతుందో బట్టి వడపోత మార్పుల రూపకల్పనలో ఉపయోగించే భాగాలు. ఉదాహరణకు, RC ఫిల్టర్లు ఆడియో లేదా తక్కువ-ఫ్రీక్వెన్సీ అనువర్తనాల కోసం ఉపయోగించబడతాయి, అయితే LC ఫిల్టర్లు రేడియో లేదా హై-ఫ్రీక్వెన్సీ అనువర్తనాల కోసం ఉపయోగించబడతాయి.

ఫ్రీక్వెన్సీ ఎంపిక ఆధారంగా ఫిల్టర్లు

ఫిల్టర్ ద్వారా పంపిన సిగ్నల్స్ ఆధారంగా ఫిల్టర్లను కూడా విభజించారు

తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్:

ఎంచుకున్న పౌన encies పున్యాల పైన ఉన్న అన్ని సంకేతాలు అటెన్యూట్ అవుతాయి. అవి రెండు రకాలు- యాక్టివ్ లో పాస్ ఫిల్టర్ మరియు పాసివ్ లో పాస్ ఫిల్టర్. తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన క్రింద చూపబడింది. ఇక్కడ, చుక్కల గ్రాఫ్ ఆదర్శ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్ గ్రాఫ్ మరియు క్లీన్ గ్రాఫ్ అనేది ప్రాక్టికల్ సర్క్యూట్ యొక్క వాస్తవ ప్రతిస్పందన. సరళ నెట్‌వర్క్ నిరంతర సిగ్నల్‌ను ఉత్పత్తి చేయలేనందున ఇది జరిగింది. సిగ్నల్స్ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఎఫ్‌హెచ్‌కు చేరుకున్న తర్వాత చిత్రంలో చూపిన విధంగా అవి అటెన్యుయేషన్‌ను అనుభవిస్తాయి మరియు కొంత ఎక్కువ ఫ్రీక్వెన్సీ తర్వాత ఇన్‌పుట్‌లో ఇచ్చిన సిగ్నల్స్ పూర్తిగా నిరోధించబడతాయి.

అధిక పాస్ ఫిల్టర్:

ఎంచుకున్న పౌన encies పున్యాల పైన ఉన్న అన్ని సంకేతాలు అవుట్‌పుట్‌లో కనిపిస్తాయి మరియు ఆ పౌన frequency పున్యం క్రింద ఉన్న సిగ్నల్ నిరోధించబడుతుంది. అవి రెండు రకాలు- యాక్టివ్ హై పాస్ ఫిల్టర్ మరియు పాసివ్ హై పాస్ ఫిల్టర్. అధిక పాస్ ఫిల్టర్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన క్రింద చూపబడింది. ఇక్కడ, చుక్కల గ్రాఫ్ ఆదర్శ హై పాస్ ఫిల్టర్ గ్రాఫ్ మరియు క్లీన్ గ్రాఫ్ అనేది ప్రాక్టికల్ సర్క్యూట్ యొక్క వాస్తవ ప్రతిస్పందన. సరళ నెట్‌వర్క్ నిరంతర సిగ్నల్‌ను ఉత్పత్తి చేయలేనందున ఇది జరిగింది. సిగ్నల్స్ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఎఫ్ఎల్ కంటే ఎక్కువ ఫ్రీక్వెన్సీని కలిగి ఉన్నంత వరకు చిత్రంలో చూపిన విధంగా వారు అటెన్యుయేషన్ అనుభవిస్తారు.

బ్యాండ్‌పాస్ ఫిల్టర్:

ఈ ఫిల్టర్‌లో, ఎంచుకున్న ఫ్రీక్వెన్సీ పరిధి యొక్క సంకేతాలు మాత్రమే అవుట్‌పుట్‌లో కనిపించడానికి అనుమతించబడతాయి, ఇతర పౌన frequency పున్య సంకేతాలు నిరోధించబడతాయి. బ్యాండ్‌పాస్ ఫిల్టర్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ ప్రతిస్పందన క్రింద చూపబడింది. ఇక్కడ, చుక్కల గ్రాఫ్ ఆదర్శ బ్యాండ్‌పాస్ ఫిల్టర్ గ్రాఫ్ మరియు క్లీన్ గ్రాఫ్ అనేది ప్రాక్టికల్ సర్క్యూట్ యొక్క వాస్తవ ప్రతిస్పందన. చిత్రంలో చూపినట్లుగా, FL నుండి fH వరకు పౌన frequency పున్య శ్రేణిలోని సంకేతాలు వడపోత గుండా వెళ్ళడానికి అనుమతించబడతాయి, అయితే ఇతర పౌన frequency పున్య అనుభవ అటెన్యుయేషన్ యొక్క సంకేతాలు. బ్యాండ్ పాస్ ఫిల్టర్ గురించి ఇక్కడ మరింత తెలుసుకోండి.

బ్యాండ్ ఫిల్టర్‌ను తిరస్కరించండి:

బ్యాండ్ రిజెక్ట్ ఫిల్టర్ ఫంక్షన్ బ్యాండ్‌పాస్ ఫిల్టర్‌కు ఖచ్చితమైన వ్యతిరేకం. ఇన్పుట్ వద్ద అందించిన ఎంచుకున్న బ్యాండ్ పరిధిలో ఫ్రీక్వెన్సీ విలువ కలిగిన అన్ని ఫ్రీక్వెన్సీ సిగ్నల్స్ ఫిల్టర్ ద్వారా నిరోధించబడతాయి, అయితే ఇతర ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సిగ్నల్స్ అవుట్పుట్ వద్ద కనిపించడానికి అనుమతించబడతాయి.

అన్ని పాస్ ఫిల్టర్:

ఏదైనా ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క సిగ్నల్స్ ఈ ఫిల్టర్ గుండా వెళ్ళడానికి అనుమతించబడతాయి తప్ప అవి దశ మార్పును అనుభవిస్తాయి.

అప్లికేషన్ మరియు ఖర్చు ఆధారంగా, డిజైనర్ వివిధ రకాల నుండి తగిన ఫిల్టర్‌ను ఎంచుకోవచ్చు.

కానీ ఇక్కడ మీరు అవుట్పుట్ గ్రాఫ్లలో చూడవచ్చు మరియు కావలసిన ఫలితాలు వాస్తవంగా ఒకేలా ఉండవు. ఈ లోపం చాలా అనువర్తనాలలో అనుమతించబడినప్పటికీ, కొన్నిసార్లు మనకు మరింత ఖచ్చితమైన ఫిల్టర్ అవసరం, దీని అవుట్పుట్ గ్రాఫ్ ఆదర్శ వడపోత వైపు ఎక్కువగా ఉంటుంది. ప్రత్యేక డిజైన్ పద్ధతులు, ఖచ్చితమైన భాగాలు మరియు హై-స్పీడ్ ఆప్-ఆంప్స్ ఉపయోగించి ఈ సమీప ఆదర్శవంతమైన ప్రతిస్పందనను సాధించవచ్చు.

బటర్‌వర్త్, కౌర్ మరియు చెబిషెవ్‌లు సాధారణంగా ఉపయోగించే ఫిల్టర్లు, ఇవి ఆదర్శవంతమైన ప్రతిస్పందన వక్రతను అందించగలవు. వాటిలో, బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ ఈ మూడింటిలో అత్యంత ప్రాచుర్యం పొందినందున ఇక్కడ చర్చిస్తాము.

బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ యొక్క ప్రధాన లక్షణాలు:

ఇది RC (రెసిస్టర్, కెపాసిటర్) & Op-amp (ఆపరేషనల్ యాంప్లిఫైయర్) ఆధారిత ఫిల్టర్
ఇది క్రియాశీల వడపోత కాబట్టి లాభం అవసరమైతే సర్దుబాటు చేయవచ్చు
బటర్‌వర్త్ యొక్క ముఖ్య లక్షణం ఏమిటంటే దీనికి ఫ్లాట్ పాస్‌బ్యాండ్ మరియు ఫ్లాట్ స్టాప్‌బ్యాండ్ ఉన్నాయి. దీనిని సాధారణంగా 'ఫ్లాట్-ఫ్లాట్ ఫిల్టర్' అని పిలుస్తారు.

ఇప్పుడు మంచి అవగాహన కోసం లో పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ యొక్క సర్క్యూట్ మోడల్ గురించి చర్చిద్దాం.

మొదటి ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్

మొదటి-ఆర్డర్ తక్కువ-పాస్ వెన్న విలువైన వడపోత యొక్క సర్క్యూట్ నమూనాను ఈ బొమ్మ చూపిస్తుంది.

సర్క్యూట్లో మనకు:

వోల్టేజ్ 'విన్' ఇన్పుట్ వోల్టేజ్ సిగ్నల్, ఇది ప్రకృతిలో అనలాగ్.
వోల్టేజ్ 'వో' అనేది కార్యాచరణ యాంప్లిఫైయర్ యొక్క అవుట్పుట్ వోల్టేజ్.
రెసిస్టర్లు 'RF' మరియు 'R1' కార్యాచరణ యాంప్లిఫైయర్ యొక్క ప్రతికూల అభిప్రాయ నిరోధకాలు.
సర్క్యూట్లో ఒకే RC నెట్‌వర్క్ (ఎరుపు చతురస్రంలో గుర్తించబడింది) ఉంది, అందువల్ల వడపోత మొదటి-ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్
'RL' అనేది op-amp అవుట్పుట్ వద్ద అనుసంధానించబడిన లోడ్ నిరోధకత.

'V1 పాయింట్ వద్ద వోల్టేజ్ డివైడర్ నియమాన్ని ఉపయోగిస్తే, కెపాసిటర్ అంతటా వోల్టేజ్ పొందవచ్చు, V ₁ = V _లో ఇక్కడ -jXc = 1 / 2ᴫfc

ఈ సమీకరణాన్ని ప్రత్యామ్నాయం చేసిన తరువాత మనకు క్రింద ఉన్నది ఉంటుంది

V ₁ = Vi _n / (1 + j2ᴫfRC)

ఇప్పుడు ఇక్కడ ప్రతికూల అభిప్రాయ ఆకృతీకరణలో ఉపయోగించిన op-amp మరియు అటువంటి సందర్భంలో అవుట్పుట్ వోల్టేజ్ సమీకరణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది, V ₀ = (1 + R _F / R ₁) V _1.

ఇది ప్రామాణిక సూత్రం మరియు మరిన్ని వివరాల కోసం మీరు op-amp సర్క్యూట్లను చూడవచ్చు.

మేము V1 లో V1 సమీకరణాన్ని సమర్పించినట్లయితే, V0 = (1 + R _F / R ₁)

ఈ సమీకరణాన్ని తిరిగి వ్రాసిన తరువాత, V ₀ / V _in = A _F / (1 + j (f / f _L))

ఈ సమీకరణంలో,

V ₀ / V _in = ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క ఫంక్షన్ వలె వడపోత యొక్క లాభం
AF = (1 + R _F / R ₁) = ఫిల్టర్ యొక్క పాస్‌బ్యాండ్ లాభం
f = ఇన్పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ
f _L = 1 / 2ᴫRC = ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ. సర్క్యూట్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీని ఎంచుకోవడానికి తగిన రెసిస్టర్ మరియు కెపాసిటర్ విలువలను ఎంచుకోవడానికి మేము ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

పై సమీకరణాన్ని ధ్రువ రూపంలోకి మార్చినట్లయితే మనకు ఉంటుంది,

ఇన్పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలో మార్పుతో లాభాల పరిమాణంలో మార్పును గమనించడానికి మేము ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చు.

కేసు 1: ఎఫ్ < ఎల్ . కాబట్టి ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ చాలా తక్కువగా ఉందని పరిశీలిద్దాం,

కాబట్టి ఫిల్టర్ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ చాలా తక్కువగా ఉన్నప్పుడు, లాభం పరిమాణం ఆప్-ఆంప్ యొక్క లూప్ లాభంతో సమానంగా ఉంటుంది.

Case2: f = f _L. ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానంగా ఉంటే,

కాబట్టి ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఫిల్టర్ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానంగా ఉన్నప్పుడు లాభం మాగ్నిట్యూడ్ ఆప్-ఆంప్ యొక్క లూప్ లాభం 0.707 రెట్లు.

Case3: f> f _L. ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఎక్కువగా ఉంటే,

మీరు నమూనా నుండి చూడగలిగినట్లుగా, ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే తక్కువగా ఉండే వరకు ఫిల్టర్ యొక్క లాభం op-amp లాభంతో సమానంగా ఉంటుంది. ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీకి చేరుకున్న తర్వాత, కేసు రెండులో చూసినట్లుగా లాభం స్వల్పంగా తగ్గుతుంది. మరియు ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ మరింత పెరిగేకొద్దీ అది సున్నాకి చేరే వరకు లాభం క్రమంగా తగ్గుతుంది. కాబట్టి తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ వడపోత ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే తక్కువగా ఉండే వరకు ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ అవుట్‌పుట్‌లో కనిపించడానికి అనుమతిస్తుంది.

మేము డ్రా ఉంటే పౌనఃపున్య ప్రతిస్పందన గ్రాఫ్ పైన సర్క్యూట్ మేము ఉంటుంది కోసం,

గ్రాఫ్‌లో చూసినట్లుగా, ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ విలువను దాటే వరకు లాభం సరళంగా ఉంటుంది మరియు అది జరిగిన తర్వాత లాభం గణనీయంగా తగ్గుతుంది కాబట్టి అవుట్పుట్ వోల్టేజ్ విలువ కూడా అవుతుంది.

రెండవ-ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్

ఫిగర్ 2 వ ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్ యొక్క సర్క్యూట్ మోడల్‌ను చూపిస్తుంది.

సర్క్యూట్లో మనకు:

వోల్టేజ్ 'విన్' ఇన్పుట్ వోల్టేజ్ సిగ్నల్, ఇది ప్రకృతిలో అనలాగ్.
వోల్టేజ్ 'వో' అనేది కార్యాచరణ యాంప్లిఫైయర్ యొక్క అవుట్పుట్ వోల్టేజ్.
రెసిస్టర్లు 'RF' మరియు 'R1' కార్యాచరణ యాంప్లిఫైయర్ యొక్క ప్రతికూల అభిప్రాయ నిరోధకాలు.
సర్క్యూట్లో డబుల్ ఆర్‌సి నెట్‌వర్క్ (ఎరుపు చతురస్రంలో గుర్తించబడింది) ఉంది, అందువల్ల వడపోత రెండవ-ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్.
'RL' అనేది op-amp అవుట్పుట్ వద్ద అనుసంధానించబడిన లోడ్ నిరోధకత.

రెండవ ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ ఉత్పన్నం

రెండవ-ఆర్డర్ ఫిల్టర్లు ముఖ్యమైనవి ఎందుకంటే అధిక-ఆర్డర్ ఫిల్టర్లు వాటిని ఉపయోగించి రూపొందించబడ్డాయి. రెండవ-ఆర్డర్ ఫిల్టర్ యొక్క లాభం R1 మరియు RF చే సెట్ చేయబడింది, కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ f _H ను R ₂, R ₃, C ₂ & C ₃ విలువలు నిర్ణయిస్తాయి. కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కోసం ఉత్పన్నం ఈ క్రింది విధంగా ఇవ్వబడింది, f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2

ఈ సర్క్యూట్ కోసం వోల్టేజ్ లాభం సమీకరణం కూడా మునుపటి మాదిరిగానే కనుగొనబడుతుంది మరియు ఈ సమీకరణం క్రింద ఇవ్వబడింది,

ఈ సమీకరణంలో,

V ₀ / V _in = ఫ్రీక్వెన్సీ యొక్క ఫంక్షన్ వలె వడపోత యొక్క లాభం
ఒక _F = (1 + R _F / R ₁ వడపోత) Passband పెరుగుట
f = ఇన్పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ
f _H = 1 / 2ᴫ (R ₂ R ₃ C ₂ C ₃) ^1/2 = ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ. సర్క్యూట్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీని ఎంచుకోవడానికి తగిన రెసిస్టర్ మరియు కెపాసిటర్ విలువలను ఎంచుకోవడానికి మేము ఈ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించవచ్చు. మేము RC నెట్‌వర్క్‌లో ఒకే రెసిస్టర్ మరియు కెపాసిటర్‌ను ఎంచుకుంటే అప్పుడు సమీకరణం అవుతుంది,

ఇన్పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీలో సంబంధిత మార్పుతో లాభం పరిమాణంలో మార్పును గమనించడానికి మేము వోల్టేజ్ లాభ సమీకరణాన్ని చేయవచ్చు.

కేసు 1: ఎఫ్ < హెచ్ . కాబట్టి ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ చాలా తక్కువగా ఉందని పరిశీలిద్దాం,

Case2: f f = _H. ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీకి సమానంగా ఉంటే,

Case3: f> f _H. ఫిల్టర్ యొక్క కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్పుట్ ఫ్రీక్వెన్సీ నిజంగా ఎక్కువగా ఉంటే,

ఫస్ట్-ఆర్డర్ ఫిల్టర్ మాదిరిగానే, ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే తక్కువగా ఉండే వరకు ఫిల్టర్ యొక్క లాభం ఆప్-ఆంప్ లాభం వలె ఉంటుంది. ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీకి చేరుకున్న తర్వాత, కేసు రెండులో చూసినట్లుగా లాభం స్వల్పంగా తగ్గుతుంది. మరియు ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ మరింత పెరిగేకొద్దీ అది సున్నాకి చేరే వరకు లాభం క్రమంగా తగ్గుతుంది. కాబట్టి తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీ కంటే ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ యొక్క ఫ్రీక్వెన్సీ తక్కువగా ఉండే వరకు ఇన్‌పుట్ సిగ్నల్ అవుట్పుట్ వద్ద కనిపించడానికి అనుమతిస్తుంది.

ఇప్పుడు మీరు wondering ఉండవచ్చు మొదటి ఆర్డర్ వడపోత మరియు రెండవ ఆర్డర్ వడపోత మధ్య వ్యత్యాసం ఉన్న ? సమాధానం గ్రాఫ్‌లో ఉంది, మీరు జాగ్రత్తగా గమనిస్తే ఇన్పుట్ సిగ్నల్ ఫ్రీక్వెన్సీ కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీని దాటిన తర్వాత గ్రాఫ్ బాగా క్షీణించిపోతుంది మరియు మొదటి-ఆర్డర్‌తో పోలిస్తే రెండవ-ఆర్డర్‌లో ఈ పతనం మరింత స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఈ నిటారుగా ఉన్న వంపుతో, సింగిల్-ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్‌తో పోల్చినప్పుడు రెండవ-ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ ఆదర్శ వడపోత గ్రాఫ్ వైపు మరింత మొగ్గు చూపుతుంది.

థర్డ్ ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ లో పాస్ ఫిల్టర్, ఫోర్త్ ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ లో పాస్ ఫిల్టర్ మొదలైన వాటికి ఇదే. వడపోత యొక్క అధిక క్రమం లాభదాయక గ్రాఫ్ ఆదర్శ వడపోత గ్రాఫ్‌కు మొగ్గు చూపుతుంది. మేము అధిక-ఆర్డర్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్‌ల కోసం లాభం గ్రాఫ్‌ను గీస్తే, మనకు ఇలాంటివి ఉంటాయి,

గ్రాఫ్‌లో, ఆకుపచ్చ వక్రత ఆదర్శ వడపోత వక్రతను సూచిస్తుంది మరియు బటర్‌వర్త్ వడపోత యొక్క క్రమం దాని లాభం గ్రాఫ్ ఆదర్శ వక్రత వైపు మరింత మొగ్గు చూపుతున్నప్పుడు మీరు చూడవచ్చు. కాబట్టి అధిక బట్టర్వర్త్ వడపోత క్రమాన్ని మరింత ఆదర్శ పెరుగుట వక్రత ఉంటుంది ఎంచుకున్నారు. ఆర్డర్ పెరుగుదలతో వడపోత యొక్క ఖచ్చితత్వం తగ్గుతున్నందున మీరు అధిక-ఆర్డర్ ఫిల్టర్‌ను సులభంగా ఎంచుకోలేరు. అందువల్ల అవసరమైన ఖచ్చితత్వాన్ని గమనించేటప్పుడు వడపోత క్రమాన్ని ఎంచుకోవడం మంచిది.

రెండవ-ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ బటర్‌వర్త్ ఫిల్టర్ ఉత్పన్నం -అలిటర్

వ్యాసం ప్రచురించబడిన తరువాత రిటైర్డ్ ఎలక్ట్రికల్ ఇంజనీర్ అయిన కీత్ వోగెల్ నుండి మాకు ఒక మెయిల్ వచ్చింది. అతను 2 ^వ ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్ యొక్క వర్ణనలో విస్తృతంగా ప్రచారం చేయబడిన లోపాన్ని గమనించాడు మరియు దానిని సరిదిద్దడానికి తన వివరణను ఈ క్రింది విధంగా ఇచ్చాడు.

కాబట్టి నాకు కూడా సరైనది చేద్దాం.:

ఆపై -6 డిబి కటాఫ్ ఫ్రీక్వెన్సీని సమీకరణం ద్వారా వివరించబడింది:

f _సి = 1 / (

)

అయితే, ఇది నిజం కాదు! మీరు నన్ను నమ్మండి. R1 = R2 = 160, మరియు C1 = C2 = 100nF (0.1uF) ఉన్న సర్క్యూట్ చేద్దాం. సమీకరణం ప్రకారం, మనకు -6 డిబి ఫ్రీక్వెన్సీ ఉండాలి:

f _సి = 1 / (

) = 1 / (2

* 160 * 100 * 10 ^-9) ~ 9.947kHz

ముందుకు వెళ్లి సర్క్యూట్‌ను అనుకరించండి మరియు -6 డిబి పాయింట్ ఎక్కడ ఉందో చూద్దాం:

ఓహ్, ఇది 6.33kHz NOT 9.947kHz కు అనుకరిస్తుంది; కానీ అనుకరణ తప్పు కాదు!

మీ సమాచారం కోసం, నేను -6 డిబికి బదులుగా -6.0206 డిబిని ఉపయోగించాను ఎందుకంటే 20 లాగ్ (0.5) = -6.0205999132796239042747778944899, -6.0206 -6 కన్నా కొంచెం దగ్గరగా ఉన్న సంఖ్య, మరియు మా సమీకరణాలకు మరింత ఖచ్చితమైన అనుకరణ ఫ్రీక్వెన్సీని పొందడానికి, నేను ఉపయోగించాలనుకుంటున్నాను -6 డిబి కంటే కొంచెం దగ్గరగా ఏదో. సమీకరణం ద్వారా వివరించిన ఫ్రీక్వెన్సీని నేను నిజంగా సాధించాలనుకుంటే, నేను ఫిల్టర్ యొక్క 1 ^{స్టంప్} మరియు 2 ^వ దశల మధ్య బఫర్ చేయాలి. మా సమీకరణానికి మరింత ఖచ్చితమైన సర్క్యూట్ ఉంటుంది:

ఇక్కడ మన -6.0206db పాయింట్ 9.945kHz కు అనుకరించడం చూస్తాము, ఇది మన లెక్కించిన 9.947kHZ కి చాలా దగ్గరగా ఉంటుంది. ఆశాజనక, లోపం ఉందని మీరు నన్ను నమ్ముతారు! ఇప్పుడు లోపం ఎలా వచ్చిందనే దాని గురించి మాట్లాడుదాం, మరియు ఇది ఎందుకు చెడ్డ ఇంజనీరింగ్.

చాలా వివరణలు 1 ^{స్టంప్} ఆర్డర్ తక్కువ పాస్ ఫిల్టర్‌తో ప్రారంభమవుతాయి, ఈ క్రింది విధంగా ఇంపెడెన్స్‌తో.

మరియు మీరు వీటి యొక్క సాధారణ బదిలీ ఫంక్షన్‌ను పొందుతారు:

H (లు) = (1 / sC) / (R + 1 / sC) = 1 / (sRC + 1)

2 ^వ ఆర్డర్ ఫిల్టర్ చేయడానికి మీరు వీటిలో 2 ని కలిపితే, మీరు పొందుతారు:

H (లు) = H ₁ (లు) * H ₂ (లు).

ఇక్కడ H ₁ (లు) = H ₂ (లు) = 1 / (sRC + 1)

లెక్కించినప్పుడు ఇది fc = 1 / (2π√R1C1R2C2) సమీకరణానికి దారి తీస్తుంది. ఇక్కడ లోపం ఉంది, H ₁ (ల) యొక్క ప్రతిస్పందన సర్క్యూట్లో H ₂ (ల) నుండి స్వతంత్రంగా లేదు, మీరు H ₁ (లు) = H ₂ (లు) = 1 / (sRC + 1).

H ₂ (ల) యొక్క ఇంపెడెన్స్ H ₁ (ల) యొక్క ప్రతిస్పందనను ప్రభావితం చేస్తుంది. అందుచేత ఎందుకు ఈ సర్క్యూట్ రచనలు, opamp H ఉంచాడు, ఎందుకంటే ₂ H నుండి (లు) ₁ (లు)!

కాబట్టి ఇప్పుడు నేను ఈ క్రింది సర్క్యూట్‌ను విశ్లేషించబోతున్నాను. మా అసలు సర్క్యూట్‌ను పరిగణించండి:

సరళత కోసం, నేను R1 = R2 మరియు C1 = C2 చేయబోతున్నాను, లేకపోతే, గణిత నిజంగా పాల్గొంటుంది. కానీ మేము వాస్తవ బదిలీ ఫంక్షన్‌ను పొందగలుగుతాము మరియు మేము పూర్తి చేసినప్పుడు ధృవీకరణ కోసం మా అనుకరణలతో పోల్చవచ్చు.

(R + 1 / sC) తో సమాంతరంగా Z ₁ = 1 / sC అని మేము చెబితే, మేము సర్క్యూట్‌ను ఇలా తిరిగి గీయవచ్చు:

= Z ₁ / (R + Z ₁) _లో V ₁ / V అని మాకు తెలుసు; Z ₁ సంక్లిష్టమైన ఇంపెడెన్స్ కావచ్చు. మరియు మేము మా అసలు సర్క్యూట్‌కు తిరిగి వెళితే, (R + 1 / sC) తో సమాంతరంగా Z ₁ = 1 / sC ని చూడవచ్చు.

Vo / V ₁ = 1 / (sRC + 1), ఇది H ₂ (లు) అని కూడా మనం చూడవచ్చు. కానీ H ₁ (లు) చాలా క్లిష్టంగా ఉంటుంది, ఇది Z ₁ / (R + Z ₁) ఇక్కడ Z ₁ = 1 / sC - (R + 1 / sC); మరియు 1 / (sRC + 1) కాదు!

కాబట్టి ఇప్పుడు మా సర్క్యూట్ కోసం గణితంలో రుబ్బుదాం; R1 = R2 మరియు C1 = C2 యొక్క ప్రత్యేక సందర్భం కొరకు.

మాకు ఉన్నాయి:

V ₁ / V _లో = Z ₁ / (R + Z ₁) Z ₁ (R + 1 / SC) = (SRC + 1) / ((SC) - = 1 / SC ² R + 2SC) VO / V ₁ = 1 / (sRC + 1)

చివరకు

Vo / V _in = * = * = * = * = *

ఇక్కడ మనం చూడవచ్చు:

H ₁ (లు) = (sRC + 1) / ((sCR) ² + 3sRC + 1)…

1 / (sRC + 1) H ₂ (లు) = 1 / (sRC + 1) కాదు

మరియు..

Vo / V _in = H ₁ (లు) * H ₂ (లు) = * = 1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1)

-6 డిబి పాయింట్ అని మాకు తెలుసు (

/ 2) ² = 0.5

మరియు మా బదిలీ ఫంక్షన్ యొక్క పరిమాణం 0.5 వద్ద ఉన్నప్పుడు మనకు తెలుసు, మేము -6 డిబి ఫ్రీక్వెన్సీ వద్ద ఉన్నాము.

కాబట్టి దాని కోసం పరిష్కరిద్దాం:

-Vo / V _in - = -1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5

S = jꙍ లెట్, మనకు ఇవి ఉన్నాయి:

-1 / ((sRC) ² + 3sRC + 1) - = 0.5 -1 / ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 0.5 - ((jꙍRC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - (- (RC) ² + 3jꙍRC + 1) - = 2 - ((1- (ꙍRC) ²) + 3jꙍRC- = 2

పరిమాణాన్ని కనుగొనడానికి, నిజమైన మరియు inary హాత్మక పదాల వర్గమూలం యొక్క వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

sqrt (((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ²) = 2

రెండు వైపులా స్క్వేర్ చేయడం:

((1- (ꙍRC) ²) ² + (3ꙍRC) ² = 4

విస్తరిస్తోంది:

1 - 2 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ + 9 (ꙍRC) ² = 4

1 + 7 (ꙍRC) ² + (ꙍRC) ⁴ = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² + 1 = 4

(ꙍRC) ⁴ + 7 (ꙍRC) ² - 3 = 0

X = (ꙍRC) ² లెట్

(x) ² + 7x - 3 = 0

X కోసం పరిష్కరించడానికి వర్గ సమీకరణాన్ని ఉపయోగించడం