మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు విద్యుదయస్కాంత సిద్ధాంతం యొక్క ప్రాథమిక అంశాలు, ఇది విద్యుత్ మరియు అయస్కాంత క్షేత్రాలకు సంబంధించిన నాలుగు సమీకరణాల సమితిని కలిగి ఉంటుంది. మాక్స్వెల్ సమీకరణాల గణిత ప్రాతినిధ్యాన్ని జాబితా చేయడానికి బదులుగా, ఈ వ్యాసంలో ఆ సమీకరణాల యొక్క అసలు ప్రాముఖ్యత ఏమిటనే దానిపై మేము దృష్టి పెడతాము. మాక్స్వెల్ యొక్క మొదటి మరియు రెండవ సమీకరణం వరుసగా స్థిర విద్యుత్ క్షేత్రాలు మరియు స్థిర అయస్కాంత క్షేత్రాలతో వ్యవహరిస్తుంది. మాక్స్వెల్ యొక్క మూడవ మరియు నాల్గవ సమీకరణం వరుసగా అయస్కాంత క్షేత్రాలను మార్చడం మరియు విద్యుత్ క్షేత్రాలను మార్చడం.
మాక్స్వెల్ సమీకరణాలు:
- గాస్ లా ఆఫ్ ఎలక్ట్రిసిటీ
- గాస్ లా అయస్కాంతత్వం
- ఫెరడే యొక్క ఇండక్షన్ చట్టం
- ఆంపియర్స్ లా
1. గాస్ లా ఆఫ్ విద్యుత్
క్లోజ్డ్ ఉపరితలం నుండి ఎలక్ట్రిక్ ఫ్లక్స్ ఆ ఉపరితలం చుట్టూ ఉన్న మొత్తం ఛార్జీకి అనులోమానుపాతంలో ఉంటుందని ఈ చట్టం పేర్కొంది. గాస్ చట్టం స్టాటిక్ ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్‌తో వ్యవహరిస్తుంది.
పాజిటివ్ పాయింట్ ఛార్జ్‌ను పరిశీలిద్దాం Q. ఎలక్ట్రిక్ ఫ్లక్స్ లైన్లు పాజిటివ్ చార్జ్ నుండి బయటికి దర్శకత్వం వహించాయని మాకు తెలుసు.
ఛార్జ్ క్యూతో కూడిన క్లోజ్డ్ ఉపరితలాన్ని పరిశీలిద్దాం. ఏరియా వెక్టర్ ఎల్లప్పుడూ దానికి సాధారణమైనదిగా ఎన్నుకోబడుతుంది ఎందుకంటే ఇది ఉపరితల ధోరణిని సూచిస్తుంది. ఏరియా వెక్టర్‌తో ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ వెక్టర్ చేసిన కోణం be గా ఉండనివ్వండి.
ఎలక్ట్రిక్ ఫ్లక్స్
డాట్ ఉత్పత్తిని ఎన్నుకోవటానికి కారణం ఏమిటంటే, ఒక సాధారణ ఏరియా వెక్టర్ ద్వారా ప్రాతినిధ్యం వహిస్తున్న ఉపరితలం గుండా విద్యుత్ ప్రవాహం ఎంత వెళుతుందో మనం లెక్కించాలి.
కూలోంబ్స్ చట్టం నుండి, పాయింట్ ఛార్జ్ కారణంగా ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ (E) Q / 4πε 0 r 2 అని మాకు తెలుసు.
గోళాకార సమరూపతను పరిశీలిస్తే, గాస్ చట్టం యొక్క సమగ్ర రూపం:
అందువల్ల ఎలక్ట్రిక్ ఫ్లక్స్ Q = Q పరివేష్టిత / ε 0
ఇక్కడ Q పరివేష్టిత ఉపరితలం లోపల ఉన్న అన్ని ఛార్జీల వెక్టర్ మొత్తాన్ని సూచిస్తుంది. ఛార్జ్‌ను చుట్టుముట్టే ప్రాంతం ఏ ఆకారంలోనైనా ఉంటుంది కాని గాస్ చట్టాన్ని వర్తింపచేయడానికి, మేము గాస్సియన్ ఉపరితలాన్ని ఎన్నుకోవాలి, ఇది సుష్ట మరియు ఏకరీతి ఛార్జ్ పంపిణీని కలిగి ఉంటుంది. గాస్సియన్ ఉపరితలం స్థూపాకార లేదా గోళాకార లేదా విమానం కావచ్చు.
దాని అవకలన రూపాన్ని పొందటానికి, మేము డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయాలి.
పై సమీకరణం గాస్ లా లేదా మాక్స్వెల్ సమీకరణం I యొక్క అవకలన రూపం.
పైన సమీకరణంలో ρ వాల్యూమ్ చార్జ్ డెన్సిటీ సూచిస్తుంది. మేము లైన్ ఛార్జ్ లేదా ఉపరితల ఛార్జ్ పంపిణీతో ఉపరితలంపై గాస్ చట్టాన్ని వర్తింపజేయవలసి వచ్చినప్పుడు, ఛార్జ్ సాంద్రతతో సమీకరణాన్ని సూచించడం మరింత సౌకర్యవంతంగా ఉంటుంది.
అందువల్ల క్లోజ్డ్ ఉపరితలంపై ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ యొక్క డైవర్జెన్స్ దాని చుట్టూ ఉన్న చార్జ్ (ρ) మొత్తాన్ని ఇస్తుందని మనం can హించవచ్చు. వెక్టర్ ఫీల్డ్‌కు డైవర్జెన్స్ను వర్తింపజేయడం ద్వారా, వెక్టర్ ఫీల్డ్ చేత చుట్టుముట్టబడిన ఉపరితలం మూలంగా పనిచేస్తుందా లేదా మునిగిపోతుందో లేదో తెలుసుకోవచ్చు.
పైన చూపిన విధంగా పాజిటివ్ చార్జ్ ఉన్న క్యూబాయిడ్‌ను పరిశీలిద్దాం. బాక్స్ (క్యూబాయిడ్) నుండి బయటకు వచ్చే విద్యుత్ క్షేత్రానికి మనం విభేదాన్ని వర్తింపజేసినప్పుడు, గణిత వ్యక్తీకరణ ఫలితం కంప్యూటెడ్ ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్‌కు మూలంగా పరిగణించబడే బాక్స్ (క్యూబాయిడ్) అని చెబుతుంది. ఫలితం ప్రతికూలంగా ఉంటే, అది బాక్స్ సింక్‌గా పనిచేస్తుందని మాకు చెబుతుంది, అంటే బాక్స్ దానిలో ప్రతికూల చార్జ్‌ను కలిగి ఉంటుంది. డైవర్జెన్స్ జీరో అయితే, దానిలో ఎటువంటి ఛార్జ్ లేదని అర్థం.
దీని నుండి, ఎలక్ట్రిక్ మోనోపోల్స్ ఉన్నాయని మేము er హించవచ్చు.
2. అయస్కాంతత్వం యొక్క గాస్ లా
అయస్కాంత ప్రవాహ రేఖ ఉత్తర ధ్రువం నుండి దక్షిణ ధ్రువానికి బాహ్యంగా ప్రవహిస్తుందని మనకు తెలుసు.
శాశ్వత అయస్కాంతం కారణంగా అయస్కాంత ప్రవాహ రేఖలు ఉన్నందున, దానితో సంబంధం ఉన్న అయస్కాంత ప్రవాహ సాంద్రత (బి) ఉంటుంది. మేము ఉపరితల S1, S2, S3 లేదా S4 కు డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేసినప్పుడు, ఎంచుకున్న ఉపరితలం నుండి వచ్చే మరియు బయటకు వెళ్ళే ఫ్లక్స్ పంక్తుల సంఖ్య ఒకే విధంగా ఉందని మనం చూస్తాము. అందువల్ల డైవర్జెన్స్ సిద్ధాంతం యొక్క ఫలితం జీరో. S2 మరియు S4 ఉపరితలంలో కూడా, విభేదం సున్నా, అంటే ఉత్తర ధ్రువం లేదా దక్షిణ ధృవం ఒక్కొక్కటిగా ఒక మూలాన్ని పనిచేయవు లేదా విద్యుత్ చార్జీల వలె మునిగిపోతాయి. ప్రస్తుత మోసే తీగ కారణంగా మేము అయస్కాంత క్షేత్రం (బి) యొక్క విభేదాన్ని వర్తింపజేసినప్పటికీ, అది సున్నాగా మారుతుంది.
అయస్కాంతత్వం యొక్క గాస్ చట్టం యొక్క సమగ్ర రూపం:
అయస్కాంతత్వం యొక్క గాస్ చట్టం యొక్క అవకలన రూపం:
దీని నుండి, అయస్కాంత మోనోపోల్స్ ఉనికిలో లేవని మేము er హించవచ్చు.
3. ఫెరడే యొక్క ఇండక్షన్ చట్టం
కాయిల్ లేదా ఏదైనా కండక్టర్‌ను అనుసంధానించే మాగ్నెటిక్ ఫ్లక్స్‌లో (సమయానికి సంబంధించి మారుతున్నప్పుడు) మార్పు వచ్చినప్పుడు, కాయిల్‌లో ప్రేరేపించబడిన EMF ఉంటుంది అని ఫెరడే యొక్క చట్టం పేర్కొంది. EMF ప్రేరేపిత దిశలో ఉంటుందని లెంజ్ పేర్కొంది, అది ఉత్పత్తి చేసే అయస్కాంత ప్రవాహంలో మార్పును వ్యతిరేకిస్తుంది.
పై దృష్టాంతంలో, మారుతున్న అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క ప్రభావానికి ఒక కండక్టింగ్ ప్లేట్ లేదా కండక్టర్ తీసుకువచ్చినప్పుడు, ప్రసరణ ప్రవాహం దానిలో ప్రేరేపించబడుతుంది. కరెంట్ అటువంటి దిశలో ప్రేరేపించబడుతుంది, దాని ద్వారా ఉత్పత్తి అయస్కాంత క్షేత్రం దానిని సృష్టించిన మారుతున్న అయస్కాంతాన్ని వ్యతిరేకిస్తుంది. ఈ దృష్టాంతం నుండి, అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని మార్చడం లేదా మార్చడం ఒక ప్రసరణ విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని సృష్టిస్తుందని స్పష్టమవుతుంది.
ఫెరడే చట్టం నుండి, emf = - dϕ / dt
అది మాకు తెలుసు, = క్లోజ్డ్ ఉపరితలం ʃ B. dS emf = - (d / dt) ʃ B. dS
విద్యుత్ క్షేత్రం E = V / d
V = ʃ E.dl
ఉపరితలం (కర్ల్) కు సంబంధించి విద్యుత్ క్షేత్రం మారుతున్నందున, సంభావ్య వ్యత్యాసం ఉంది V.
అందువల్ల మాక్స్వెల్ యొక్క నాల్గవ సమీకరణం యొక్క సమగ్ర రూపం,
స్టోక్ సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడం ద్వారా,
స్టోక్ యొక్క సిద్ధాంతాన్ని వర్తింపజేయడానికి కారణం, మేము మూసివేసిన ఉపరితలంపై తిరిగే క్షేత్రం యొక్క కర్ల్ను తీసుకున్నప్పుడు, వెక్టర్ యొక్క అంతర్గత కర్ల్ భాగాలు ఒకదానికొకటి రద్దు చేస్తాయి మరియు ఇది మూసివేసిన మార్గంలో వెక్టర్ క్షేత్రాన్ని అంచనా వేస్తుంది.
అందువల్ల మేము దానిని వ్రాయవచ్చు,
మాక్స్వెల్ యొక్క సమీకరణం యొక్క అవకలన రూపం
పై వ్యక్తీకరణ నుండి, కాలానికి సంబంధించి మారుతున్న అయస్కాంత క్షేత్రం ఒక ప్రసరణ విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుందని స్పష్టమవుతుంది.
గమనిక: ఎలెక్ట్రోస్టాటిక్స్లో, ఎలక్ట్రిక్ ఫీల్డ్ యొక్క కర్ల్ సున్నా ఎందుకంటే ఇది ఛార్జ్ నుండి రేడియల్‌గా బయటికి వస్తుంది మరియు దానితో తిరిగే భాగం లేదు.
4. ఆంపియర్స్ లా
ఒక విద్యుత్ ప్రవాహం వైర్ ద్వారా ప్రవహించినప్పుడు, దాని చుట్టూ ఒక అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుందని ఆంపియర్ చట్టం పేర్కొంది. గణితశాస్త్రపరంగా, క్లోజ్డ్ లూప్ చుట్టూ ఉన్న అయస్కాంత క్షేత్రం యొక్క సమగ్ర రేఖ దాని చుట్టూ ఉన్న మొత్తం విద్యుత్తును ఇస్తుంది.
ʃ B .dl = μ 0 నేను పరివేష్టిత
అయస్కాంత క్షేత్రం వైర్ చుట్టూ వంకరగా ఉన్నందున, మేము స్టోక్ యొక్క సిద్ధాంతాన్ని ఆంపియర్ నియమానికి అన్వయించవచ్చు.
అందువల్ల సమీకరణం అవుతుంది
ప్రస్తుత సాంద్రత J. పరంగా పరివేష్టిత విద్యుత్తును మేము సూచించవచ్చు.
ఈ సంబంధాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా B = μ 0 H, మేము వ్యక్తీకరణను ఇలా వ్రాయవచ్చు
మేము తిరిగే వెక్టర్ ఫీల్డ్ యొక్క కర్ల్కు డైవర్జెన్స్ను వర్తింపజేసినప్పుడు, ఫలితం సున్నా. ఎందుకంటే మూసివేసిన ఉపరితలం మూలంగా పనిచేయదు లేదా మునిగిపోతుంది, అనగా ఫ్లక్స్ సంఖ్య రావడం మరియు ఉపరితలం నుండి బయటకు వెళ్లడం ఒకే విధంగా ఉంటుంది. దీనిని గణితశాస్త్రపరంగా,
క్రింద వివరించిన విధంగా సర్క్యూట్‌ను పరిశీలిద్దాం.
సర్క్యూట్కు కెపాసిటర్ అనుసంధానించబడి ఉంది. మేము S1 ప్రాంతంలో విభేదాన్ని వర్తింపజేసినప్పుడు, ఫలితం అది సున్నా కానిదని చూపిస్తుంది. గణిత సంజ్ఞామానం లో,
సర్క్యూట్లో ప్రస్తుత ప్రవాహం ఉంది కాని కెపాసిటర్‌లో, ప్లేట్ల మీదుగా విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని మార్చడం వల్ల ఛార్జీలు బదిలీ అవుతాయి. కాబట్టి భౌతికంగా కరెంట్ దాని ద్వారా ప్రవహించదు. మాక్స్వెల్ ఈ మారుతున్న విద్యుత్ ప్రవాహాన్ని డిస్ప్లేస్మెంట్ కరెంట్ (J D) గా రూపొందించారు. ఫారడే యొక్క చట్టం యొక్క సమరూపతను పరిగణనలోకి తీసుకుని మాక్స్వెల్ డిస్ప్లేస్మెంట్ కరెంట్ (J D) అనే పదాన్ని ఉపయోగించాడు, అనగా సమయం మారుతున్న అయస్కాంత క్షేత్రం ఒక విద్యుత్ క్షేత్రాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తే, అప్పుడు సమరూపత ద్వారా, మారుతున్న విద్యుత్ క్షేత్రం అయస్కాంత క్షేత్రాన్ని ఉత్పత్తి చేస్తుంది.
S1 ప్రాంతంలో అయస్కాంత క్షేత్ర తీవ్రత (H) యొక్క కర్ల్
మాక్స్వెల్ యొక్క నాల్గవ సమీకరణం యొక్క సమగ్ర రూపం ఇలా వ్యక్తీకరించబడుతుంది:
మాక్స్వెల్ యొక్క నాల్గవ సమీకరణం యొక్క అవకలన రూపం:
ఈ నాలుగు సమీకరణాలను సమగ్ర రూపంలో లేదా అవకలన రూపంలో కలిపి మాక్స్వెల్ యొక్క సమీకరణం అంటారు.